Terence Tao a été alerté de la solution d'un problème de théorie des nombres de longue date par un commentaire sur son blog.

Terence Tao s'appuie sur une collaboration en ligne pour s'attaquer avec succès au problème d'écart d'Erdős.        

 Un puzzle mathématique qui a résisté à la solution pendant plus de 80 ans - y compris les tentatives informatisées de le résoudre - semble avoir cédé à un seul mathématicien.

Le 17 septembre, Terence Tao, mathématicien de l'Université de Californie à Los Angeles, dont l'ensemble des travaux lui a valu la prestigieuse médaille Fields en 2006, a soumis un article1 au serveur de prépublication arXiv prétendant prouver une conjecture de la théorie des nombres posée par le mathématicien Paul Erdős dans les années 1930.

"Terry Tao vient de lâcher une bombe", a tweeté Derrick Stolee, mathématicien à l'Iowa State University à Ames.

 Paul Erdős et Terence Tao étudient les mathématiques à l'Université d'Adélaïde en Australie, sur une photo prise lorsque Tao avait dix ans.

Comme beaucoup d'énigmes en théorie des nombres, le problème de divergence d'Erdős est simple à énoncer mais diablement difficile à prouver. Erdős, décédé en 1996, a émis l'hypothèse que toute chaîne infinie des nombres 1 et -1 pourrait totaliser une valeur arbitrairement grande (positive ou négative) en ne comptant que les nombres à un intervalle fixe pour un nombre fini d'étapes.

La tâche est intuitivement facile pour certains arrangements - le comptage des chiffres à n'importe quel intervalle dans une séquence composée uniquement de 1 totalisera un grand nombre. Et dans une séquence alternée de 1 et de -1, choisir un chiffre sur deux fera l'affaire. Mais Erdős a conjecturé que c'était vrai pour une telle séquence.

La preuve de Tao montre qu'Erdős avait raison : ces sommes peuvent, en fait, devenir infiniment grandes pour toute séquence arbitraire, bien qu'il ne fournisse pas de moyen de calculer leur valeur pour une instance donnée.

La preuve n'a pas encore fait l'objet d'un examen rigoureux par les pairs, mais les experts n'ont exprimé aucune inquiétude quant à savoir si elle survivra à un examen critique. "Je suis totalement confiant", déclare Gil Kalai, mathématicien à l'Université hébraïque de Jérusalem, ajoutant qu'il s'attend à ce que l'examen soit rapide.

 Commentaire constructif

La preuve de Tao vient après des années de tentatives pour résoudre le problème à la main et par ordinateur. La campagne la plus récente a débuté en décembre 2009 et s'est accélérée en 2010. Le mathématicien Tim Gowers de l'Université de Cambridge, au Royaume-Uni, a suggéré de se concentrer sur le problème d'Erdős pour le cinquième projet PolyMath, une collaboration en ligne dans laquelle des mathématiciens travaillent ensemble sur un seul puzzle mathématique. Tao était l'un des plusieurs dizaines de participants.

L'effort a échoué en 2012, mais les participants ont réussi à montrer que prouver la conjecture pour une certaine famille de séquences était assez bon pour le prouver en général. Cette famille a des 1 et des -1 arbitraires dans les points indexés par des nombres premiers, et les points indexés par d'autres nombres sont déterminés par multiplication des valeurs aux emplacements de leurs facteurs premiers. Par exemple, la valeur de la 15e place est le produit des valeurs aux 3e et 5e places.

En février 2014, des chercheurs ont présenté une preuve informatique2 pour un cas particulier de la conjecture : ils ont montré qu'il est toujours possible de trouver une somme supérieure à 2. Cependant, ils n'ont pas réussi à prouver qu'il existe toujours une somme supérieure à 3. La preuve de Tao démontre qu'il y a toujours une somme plus grande que n'importe quel nombre fini.

Personne d'autre n'a réussi à faire des progrès majeurs après la tentative de calcul. Tao travaillait sur un problème différent au début de septembre, lorsqu'un commentaire opportun sur son blog a suggéré que le problème pourrait être lié à la conjecture d'Erdős. "Au début, je pensais que la connexion n'était que superficielle", explique Tao. Mais il s'est vite rendu compte que la combinaison de la nouvelle perspicacité du commentateur avec les résultats précédents pourrait conduire à une solution. Il a soumis son article moins de deux semaines plus tard et a inclus un remerciement remerciant le commentateur, Uwe Stroinski, professeur de mathématiques à Reutlingen, en Allemagne, titulaire d'un doctorat en mathématiques de l'Université de Tübingen.

Tao a soumis sa preuve à la revue en libre accès Discrete Analysis, dirigée par Gowers. La revue, qui a été fondée début septembre, propose une évaluation par les pairs conventionnelle mais n'accepte que les articles déjà publiés sur arXiv, évitant ainsi des coûts de publication importants. « Le journal de Tim est une expérience prometteuse de publication entièrement en libre accès », déclare Tao.

Erdős, qui a écrit une lettre recommandant à Tao d'être admis à l'Université de Princeton dans le New Jersey, offrait souvent des prix en espèces pour résoudre les problèmes qu'il posait. Il a fixé le prix du problème d'écart à 500 $ US. Depuis sa mort, d'autres ont pris sur eux de décerner ces prix en son nom.

Lorsqu'on lui a demandé s'il accepterait le prix si quelqu'un l'offrait, Tao a hésité. "Il était traditionnel de ne pas encaisser les prix qu'Erdős avait décernés de son vivant", dit-il. "Les gens encadraient généralement le chèque à la place."

Maths whizz solves a master’s riddle