Crédit : Musée du MIT

Maître des jeux et des équations.

John Forbes Nash, un mathématicien exalté dont la vie a pris des tournants dramatiques entre génie, maladie mentale et statut de célébrité, a apporté des contributions majeures à la théorie des jeux, à la géométrie et au domaine des équations aux dérivées partielles.

Nash, décédé le 23 mai, est né à Bluefield, en Virginie occidentale, en 1928. Son père était ingénieur électricien et sa mère institutrice. En 1945, après avoir excellé en mathématiques au lycée, il fréquente le Carnegie Institute of Technology (aujourd'hui Carnegie Mellon University) à Pittsburgh, en Pennsylvanie. Il a d’abord étudié le génie chimique, mais peu après son inscription, il s’est tourné vers la chimie puis vers les mathématiques.

 Au cours de la dernière année de Nash, l'un de ses professeurs a rédigé une lettre de recommandation pour le jeune de 19 ans appuyant sa candidature aux études supérieures. Il disait simplement : « C’est un génie mathématique. » En 1948, Nash a été accepté par l’Université Harvard à Cambridge, Massachusetts, et par l’Université Princeton dans le New Jersey. Il a choisi Princeton.

En tant qu'étudiant au doctorat, Nash a prouvé l'existence de l'équilibre qui porte désormais son nom. Son article de 1950 « Points d'équilibre dans les jeux à n personnes » contient environ 330 mots, deux références et non une équation (JF Nash Jr Proc. Natl Acad. Sci. USA 36 , 48-49 ; 1950). L’une des citations est le livre de 1944 Theory of Games and Economic Behaviour – dans lequel le mathématicien John von Neumann et l’économiste Oskar Morgenstern présentent la théorie des jeux, une approche mathématique pour étudier les décisions stratégiques et économiques.

L'équilibre de Nash est une position dans un jeu à partir de laquelle aucun des joueurs ne peut modifier sa stratégie pour améliorer ses gains. Imaginez une partie avec deux joueurs (vous-même et une autre personne) et deux stratégies, A et B. Si vous choisissez tous les deux A, votre gain est de 2. Si vous choisissez A et que votre adversaire choisit B, vous marquez 0. Si vous choisissez B et que l’autre joueur choisit A, votre gain est de 3. Si vous choisissez tous les deux B, vous marquez 1. La même chose s’applique à votre adversaire.

Dans cet exemple, l'équilibre de Nash se produit lorsque les deux joueurs choisissent B. Si les deux joueurs choisissent B, leur gain est de 1 ; si l'un des joueurs passe à A, son gain tombe à 0. En d'autres termes, aucun des deux joueurs ne peut changer indépendamment de stratégie et améliorer son gain. Observez que si les deux joueurs sélectionnent A, il n’y a pas d’équilibre de Nash car vous pourriez améliorer votre gain en passant à B.

Calculer l’équilibre de Nash peut s’avérer une tâche formidable dans un jeu complexe. Il existe également une incertitude quant à savoir si la personne contre laquelle vous jouez est suffisamment rationnelle pour jouer la stratégie d'équilibre. Si les deux joueurs sont rationnels et que leur rationalité est de notoriété publique, ils y joueraient. Mais les expériences révèlent souvent que les gens ne sont pas rationnels. Que les gens jouent réellement à l’équilibre de Nash dans les interactions sociales ou économiques, déterminer de quoi il s’agit (ou quels sont les équilibres de Nash) est la première étape pour analyser n’importe quel jeu.

 Bien que rejeté à l’époque par von Neumann comme une trivialité, l’équilibre de Nash a été utilisé pour analyser toutes sortes de situations concurrentielles. En plus d’être essentielle à la prise de décision en économie et en politique, cette idée est importante en biologie. Ici, le concept presque équivalent, formulé par le biologiste évolutionniste John Maynard Smith dans les années 1970, est appelé stratégie évolutivement stable (ESS). Si tous les membres d’une population adoptent un ESS, alors la sélection naturelle empêche un mutant rare de se propager.

Après avoir terminé son doctorat, Nash rejoint le Massachusetts Institute of Technology (MIT) à Cambridge en 1951. Il travaille – d'abord comme instructeur, puis comme professeur – à la faculté de mathématiques jusqu'à sa démission en 1959. C'est alors qu'il était au MIT. que Nash a rencontré et épousé Alicia Lopez-Harrison de Lardé, étudiante en physique là-bas.

Parmi les mathématiciens, Nash est surtout connu pour ses travaux sur la géométrie algébrique réelle et les équations aux dérivées partielles non linéaires. Il n’a pas eu peur de s’attaquer aux problèmes les plus difficiles sur le terrain et il a réussi. En 1957, il résout, en parallèle avec le mathématicien italien Ennio de Giorgi, le dix-neuvième problème de Hilbert impliquant des équations aux dérivées partielles.

C’est lors d’une conférence en 1959 sur ce qui est considéré comme l’un des problèmes de mathématiques les plus difficiles – l’hypothèse de Riemann – que le public a réalisé que quelque chose n’allait pas chez Nash. Son discours était incompréhensible.

Cette année-là, on lui a diagnostiqué une schizophrénie paranoïde. Au cours des deux décennies suivantes, Nash est entré et sorti des hôpitaux. Il a suivi une thérapie et a quitté pendant un certain temps les Etats-Unis et a demandé l'asile en Suisse pour tenter d'échapper à ses bourreaux imaginaires. Pendant de nombreuses années, il a erré sur le campus de Princeton. Tout au long de cette période, Alicia, qui a divorcé de Nash en 1963, a supervisé une grande partie de ses soins.

À la fin des années 1980, Nash réapparaît dans les cercles universitaires et, en 1994, il reçoit le prix Nobel d’économie pour ses travaux sur la théorie des jeux. Le Nobel et le film de 2001 A Beautiful Mind , basé sur le livre du même nom de la journaliste Sylvia Nasar, qui racontait les luttes de Nash, l'ont propulsé sous le feu des projecteurs.

En mai de cette année, Nash a reçu le prix Abel de l'Académie norvégienne des sciences et des lettres pour ses travaux sur les équations aux dérivées partielles. Sur le chemin du retour de la célébration en Norvège, John et Alicia (qui s'étaient remariés en 2001) ont été tués dans un accident de voiture dans un taxi sur l'autoroute à péage du New Jersey. Jean avait 86 ans.

J'ai rencontré John en 1998 à l'Institute for Advanced Study de Princeton. Au fil des années, j'y ai donné plusieurs conférences auxquelles il a assisté. Un jour d'été, alors que les arrangements habituels pour le déjeuner étaient perturbés par la fermeture de la cuisine principale, j'ai remarqué John, le physicien Edward Witten et Andrew Wiles, le mathématicien britannique qui a prouvé le dernier théorème de Fermat, assis ensemble à une petite table. Je me demandais lequel d'entre eux lancerait la conversation. Aucun d’eux ne l’a fait. Je crois me souvenir qu'ils prenaient leur repas en silence.

Informations sur l'auteur

Auteurs et affiliations

Martin A. Nowak est professeur de mathématiques et de biologie et directeur du programme de dynamique évolutive à l'Université Harvard à Cambridge, Massachusetts, Etats-Unis.

Martin A. Nowak

auteur correspondant

Correspondance avec Martin A. Nowak .

 John Forbes Nash (1928-2015)